Question

设0≤x≤2，求函数y=4x-

1

2

-2^x+1+5的最大值和最小值，并指出相应x的取值？

Answer 1

分析：令t=2^x，由0≤x≤2可得1≤t≤4，此时y=

1

2

t²-2t+5=

1

2

（t-2）²+3，1≤t≤4，利用二次函数的图象和性质，可得答案．

解答：解：令t=2^x，∵0≤x≤2
∴1≤t≤4
则y=4x-

1

2

-2^x+1+5=

1

2

t²-2t+5=

1

2

（t-2）²+3，1≤t≤4
故当t=2，即x=1时，函数取最小值3
当t=4，即x=2时，函数取最大值5

点评：本题考查的知识点是二次函数在闭区间上的最值，利用换元法将问题转化为二次函数问题及熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．