Question

4．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F₁、F₂，P为双曲线上一点，且满足|OP|=$\sqrt{11}$a，|F₁F₂|是|PF₁|与|PF₂|的等比中项，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 通过等比数列双曲线的定义，余弦定理推出：|OP|²=2a²+3c²．利用|OP|=$\sqrt{11}$a，求出双曲线的离心率的值．

解答 解：由题意，|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|成等比数列可知，|F₁F₂|²=|PF₁||PF₂|，
即4c²=|PF₁||PF₂|，
由双曲线的定义可知|PF₁|-|PF₂|=2a，即|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|=4a²，
可得|PF₁|²+|PF₂|²-8c²=4a²…①
设∠POF₁=θ，则∠POF₂=π-θ，
由余弦定理可得：|PF₂|²=c²+|OP|²-2|OF₂||OP|cos（π-θ），|PF₁|²=c²+|OP|²-2|OF₁||OP|cosθ，
|PF₂|²+PF₁|²=2c²+2|OP|²，…②，
由①②化简得：|OP|²=2a²+3c²．
因为|OP|=$\sqrt{11}$a，所以2a²+3c²=11a²．
所以e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的定义，余弦定理以及等比数列的应用，是有难度的综合问题，考查分析问题解决问题的能力．