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    【题目】已知动圆M与直线相切，且与圆N：外切

    （1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；

    （2）点O为坐标原点，过曲线C外且不在y轴上的点P作曲线C的两条切线，切点分别记为A，B，当直线与的斜率之积为时，求证：直线过定点.

    【答案】（1）；（2）见解析

    【解析】

    （1）直接利用直线与圆的位置关系式，圆和圆的位置关系式的应用求出结果．

    （2）利用直线与曲线的相切和一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．

    （1）设动圆圆心M（x，y），

    由于圆M与直线y=-1相切，且与圆N：外切．

    利用圆心到直线的距离和圆的半径和圆心距之间的关系式，

    可知C的轨迹方程为：

    （2）设直线：，，，

    因为，，所以两条切线的斜率分别为，，

    则直线的方程是，

    直线的方程是.

    两个方程联立得P点坐标为，

    ，

    ，由联立得：

    ，

    故直线过定点.

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    （2）若存在，且，使得，求证： .

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    一班检测结果频数分布表：

    跳绳个数区间

    频数

    7

    13

    20

    8

    2

    （1）根据给出的图表估计一班和二班检测结果的中位数（结果保留两位小数）；

    （2）跳绳个数不小于100个为优秀，填写下面2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为检测结果是否优秀与班级有关.

    一班

    二班

    合计

    优秀

    不优秀

    合计

    参考公式及数据：，

    0.100

    0.050

    0.010

    2.706

    3.841

    6.635

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    【题目】已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，O是坐标原点，点A，B分别为椭圆C的左右顶点，|AB|＝4．

    （1）求椭圆C的标准方程．

    （2）若P是椭圆C上异于A，B的一点，直线l交椭圆C于M，N两点，AP∥OM，BP∥ON，则△OMN的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由．

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    【题目】为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏，从中部选择河北、湖北，从西部选择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区，在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记，由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验，在某普查小区，共有50家企事业单位，150家个体经营户，普查情况如下表所示：

    普查对象类别

    顺利

    不顺利

    合计

    企事业单位

    40

    10

    50

    个体经营户

    100

    50

    150

    合计

    140

    60

    200

    （1）写出选择5个国家综合试点地区采用的抽样方法；

    （2）根据列联表判断是否有的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”；

    （3）以该小区的个体经营户为样本，频率作为概率，从全国个体经营户中随机选择3家作为普查对象，入户登记顺利的对象数记为，写出的分布列，并求的期望值．

    附：

    0.10

    0.010

    0.001

    2.706

    6.635

    10.828

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    【题目】为方便市民出行，倡导低碳出行.某市公交公司推出利用支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，在推广期内采用随机优惠鼓励市民扫码支付乘车.该公司某线路公交车队统计了活动推广期第一周内使用扫码支付的情况，其中（单位：天）表示活动推出的天次，（单位：十人次）表示当天使用扫码支付的人次，整理后得到如图所示的统计表1和散点图.

    表1：

    x

    第1天

    第2天

    第3天

    第4天

    第5天

    第6天

    第7天

    y

    7

    12

    20

    33

    54

    90

    148

    （1）由散点图分析后，可用作为该线路公交车在活动推广期使用扫码支付的人次关于活动推出天次的回归方程，根据表2的数据，求此回归方程，并预报第8天使用扫码支付的人次（精确到整数）.

    表2：

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    4

    52

    3.5

    140

    2069

    112

    表中，.

    （2）推广期结束后，该车队对此期间乘客的支付情况进行统计，结果如表3.

    表3：

    支付方式

    现金

    乘车卡

    扫码

    频率

    10%

    60%

    30%

    优惠方式

    无优惠

    按7折支付

    随机优惠(见下面统计结果)

    统计结果显示，扫码支付中享受5折支付的频率为，享受7折支付的频率为，享受9折支付的频率为.已知该线路公交车票价为1元，将上述频率作为相应事件发生的概率，记随机变量为在活动期间该线路公交车搭载乘客一次的收入（单位：元），求的分布列和期望.

    参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为参考数据：，，.

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    【题目】某地有A，B、C、D四人先后感染了新型冠状病毒，其中只有A到过疫区，B肯定是受A感染的，对于C，因为难以判定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是，同样也假设D受A、B和C感染的概率都是.在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量，写出X的可能取值为______，并求X的均值（即数学期望）为______.

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    【题目】某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则D（ξ1）＝_____，E（ξ1）﹣E（ξ2）＝_____．

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    【题目】已知曲线C的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，过极点的两射线、相互垂直，与曲线C分别相交于A、B两点（不同于点O），且的倾斜角为锐角.

    （1）求曲线C和射线的极坐标方程；

    （2）求△OAB的面积的最小值，并求此时的值．

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