Question

（2013•徐州三模）已知函数f（x）=lnx-ax²-x，a∈R．
（1）若函数y=f（x）在其定义域内是单调增函数，求a的取值范围；
（2）设函数y=f（x）的图象被点P（2，f（2））分成的两部分为c₁，c₂（点P除外），该函数图象在点P处的切线为l，且c₁，c₂分别完全位于直线l的两侧，试求所有满足条件的a的值．

Answer 1

分析：（1）函数y=f（x）在其定义域内是单调增函数只需要2ax²+x-1≤0对任意的x》0恒成立?2a≤

1

x2

-

1

x

=(

1

x

-

1

2

)2-

1

4

成立，利用二次函数的性质可求得a的取值范围；
（2）依题意可求得f（x）在点x=2处的切线l方程，假设满足条件的a存在，令g(x)=lnx-ax2-x-[(-4a-

1

2

)(x-2)+ln2-4a-2]，对a分类讨论，利用导数工具研究它的性质，利用g′（x）的单调性即可分析判断a是否存在．

解答：解：（1）f′(x)=

1

x

-2ax-1=-

2ax2+x-1

x

(x＞0)，…（2分）
只需要2ax²+x-1≤0，即2a≤

1

x2

-

1

x

=(

1

x

-

1

2

)2-

1

4

，
所以a≤-

1

8

．…（4分）
（2）因为f′(x)=

1

x

-2ax-1．
所以切线l的方程为y=(-4a-

1

2

)(x-2)+ln2-4a-2．
令g(x)=lnx-ax2-x-[(-4a-

1

2

)(x-2)+ln2-4a-2]，则g（2）=0.g′(x)=

1

x

-2ax+4a-

1

2

=-

2ax2-(4a- 1 2 )x-1

x

．…（6分）
若a=0，则g′(x)=

2-x

2x

，
当x∈（0，2）时，g'（x）＞0；当x∈（2，+∞）时，g'（x）＜0，
所以g（x）≥g（2）=0，c₁，c₂在直线l同侧，不合题意；…（8分）
若a≠0，g′(x)=-

2a(x-2)(x+ 1 4a )

x

，
若a=-

1

8

，g′(x)=

( x 2 -1)2

x

≥0，g（x）是单调增函数，
当x∈（2，+∞）时，g（x）＞g（2）=0；当x∈（0，2）时，g（x）＜g（2）=0，符合题意；…（10分）
若a＜-

1

8

，当x∈(-

1

4a

，2)时，g'（x）＜0，g（x）＞g（2）=0，
当x∈（2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）＞g（2）=0，不合题意； …（12分）
若-

1

8

＜a＜0，当x∈(2，-

1

4a

)时，g'（x）＜0，g（x）＜g（2）=0，
当x∈（0，2）时，g'（x）＞0，g（x）＜g（2）=0，不合题意； …（14分）
若a＞0，当x∈（0，2）时，g'（x）＞0，g（x）＜g（2）=0，
当x∈（2．+∞）时，g'（x）＜0，g（x）＜g（2）=0，不合题意．
故只有a=-

1

8

符合题意．  …（16分）

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，着重考查构造函数的思想，函数与方程，分类讨论与化归思想的综合运用，属于难题．