Question

设函数f（x）在定义域R上总有f（x）=-f（x+2），且当-1＜x≤1时，f（x）=x²+2．
（1）当3＜x≤5时，求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在（3，5]上的单调性，并予以证明．

Answer 1

分析：（1）易证y=f（x）是以4为周期的函数，从而可由-1＜x≤1时，f（x）=x²+2⇒当3＜x≤5时，函数f（x）的解析式；
（2）任取x₁，x₂∈（3，4]，且x₁＜x₂，利用单调性的定义，作差f（x₁）-f（x₂）判断其符号即可．

解答：解：（1）∵f（x）=-f（x+2），
∴f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x），
∴y=f（x）是以4为周期的函数，
又当-1＜x≤1时，f（x）=x²+2，
∴当3＜x≤5时，-1＜x-4≤1，
∴f（x）=f（x-4）=（x-4）²+2；
（2）∵函数f（x）=（x-4）²+2的对称轴是x=4，
∴函数f（x）=（x-4）²+2在（3，4]上单调递减，在[4，5]上单调递增；
证明：任取x₁，x₂∈（3，4]，且x₁＜x₂，有
f（x₁）-f（x₂）
=[（x₁-4）²+2]-[（x₂-4）²+2]
=（x₁-x₂）（x₁+x₂-8）．
∵3＜x₁＜x₂≤4，
∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂-8＜0．
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
故函数y=f（x）在（3，4]上单调递减．
同理可证函数在[4，5]上单调递增．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数的周期性与单调性，考查推理论证能力，属于中档题．