Question

已知函数f(t)对任意实数x、y，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋3xy(x＋y＋2)＋3，f(1)＝l． (1) 若t∈N*，试求f(t)的表达式 (2) 满足条件f(t)＝t的所有整数能否构成等差数列？若能构成等差数列，求出此数列；若不能构成等差数列，请说明理由． (3) 若t∈N*，且t≥4时，f(t)≥mt2＋(4m＋1)t＋3m恒成立，求实数m的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋3xy(x＋y＋2)＋3及f(1)＝1， 　　令y＝1，得f(x＋1)－f(x)＝3x2＋9x＋4． 　　当t∈N*时， 　　f(t)＝ 　　　＝3＋9＋4(t－1)＋1 　　　＝＋＋4t－3 　　＝t3＋3t2－3．
(2)	令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)＋0＋3，∴f(0)＝－3． 　　当t∈Z-时，－t∈N*，由f(t－t)＝f(t)＋f(－t)－6t2＋3＝－3 　　结合(1)得f(t)＝－f(－t)＋6t2－6＝－［(－t)3＋3(－t)2－3］＋6t2－6＝t2＋3t2－3，∴f(t)＝t33t2－3，t∈Z． 　　由f(t)＝t得t3＋3t2－3＝t，即(t2－1)(t＋3)＝0，求得t1＝1，t2＝－1，t3＝－3，满足t1＋t3＝2t2．∵t1，t2，t3构成等差数列：1，－1，－3或－3，－1，1．
(3)	当t∈N*时，f(t)＝t3＋3t2－3． 　　由f(t)≥mt2＋(4m＋1)t＋3m恒成立，知t3＋3t2－t－3≥m(t2＋4t＋3) 　　即(t－1)(t＋1)(t＋3)≥m(t＋1)(t＋3)． 　　∵t≥4，∴(t＋1)(t＋3)＞0，故t－1≥m恒成立，∴m≤3，从而m的最大值为3． 　　点评：本题以抽象函数为载体，利用等差数列的定义和性质研究数列，在处理第(3)小题时将恒成立问题通过变量分离转化为函数的最值问题．