Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₂=6，S₅=50，数列{b_n}的前n项和T_n满足Tn+

1

2

bn=1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：数列{b_n}为等比数列；
（Ⅲ）记cn=

1

4

an•bn，数列{c_n}的前n项和为R_n，若R_n＜λ对n∈N^*恒成立，求λ的最小值．

Answer 1

分析：（I）利用等差数列的求和公式，结合a₂=6，S₅=50，求出首项与公差，可得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用递推式，再写一式，两式相减，可证明数列{b_n}为等比数列；
（Ⅲ）确定数列的通项，利用错位相减法求和，即可求λ的最小值．

解答：（Ⅰ）解：由S5=

5(a1+a5)

2

=5a3=50得a₃=10，
又a₂=6，所以d=4，a₁=2，所以a_n=2+4（n-1），所以a_n=4n-2…（3分）
（Ⅱ）证明：由Tn+

1

2

bn=1①，
令n=1，得b1=

2

3

，
当n≥2时Tn-1+

1

2

bn-1=1②
①-②得Tn-Tn-1+

1

2

(bn-bn-1)=0，整理得bn=

1

3

bn-1(n≥2)
故{b_n}是以b1=

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列．…（8分）
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知bn=2(

1

3

)n，故cn=

1

4

(4n-2)×2(

1

3

)n=

2n-1

3n

所以Rn=

1

3

+

3

32

+

5

33

+…+

2n-1

3n

，两边同乘以

1

3

得

1

3

Rn=

1

32

+

3

33

+…+

2n-3

3n

+

2n-1

3n+1

两式相减得

2

3

Rn=

1

3

+

2

32

+

2

33

+…+

2

3n

-

2n-1

3n+1

=

1

3

+

2 32 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

2n-1

3n+1

=

2

3

-

1

3n

-

2n-1

3n+1

所以Rn=1-

3

2•3n

-

2n-1

2•3n

=1-

n+1

3n

＜1恒成立，故λ≥1，所以λ的最小值为1．…（14分）

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列的通项与求和，考查恒成立问题，确定数列的通项是关键．