Question

（2008•奉贤区模拟）对于函数f（x）=x•sinx，给出下列三个命题：①f（x）是偶函数；②f（x）是周期函数；③f（x）在区间[0，π]上的最大值为

π

2

．正确的是

①

（写出所有真命题的序号）．

Answer 1

分析：①研究函数的奇偶性，可用偶函数的定义来证明之；
②研究的是函数的周期性，采用举对立面的形式说明其不成立；
③研究函数的单调性，可用两个函数相乘时单调性的判断方法进行判断．

解答：解：对于①，由于f（-x）=-xsin（-x）=xsinx=f（x），故函数f（x）是偶函数，①正确；
对于②，当x=2kπ+

π

2

时，f（x）=x，随着x的增大函数值也在增大，所以不会是周期函数，故②错；
对于③，由于f'（x）=sinx+xcosx，在区间[0，

π

2

]上f'（x）＞0，在x=

π

2

时f'（x）＞0，f（

π

2

）=

π

2

；
所以在x=

π

2

的右边，函数值继续增大，故f（x）在区间[0，π]上的最大值大于

π

2

，故③错．
故答案为：①．

点评：本题考点是函数的单调性判断与证明，函数的奇偶性，函数的中心对称的判断及函数的周期性，涉及到的性质比较多，且都是定义型，本题知识性较强，做题时要注意准确运用相应的知识准确解题．