Question

15．已知三棱锥O-ABC中，∠BOC=90°，OA⊥平面BOC，其中AB=AC=$\sqrt{7}$，BC=$\sqrt{11}$，O，A，B，C四点均在球S的表面上，则球S的表面积为$\frac{25π}{2}$．

Answer 1

分析 由已知得球S是以O为顶点，以OA、OB、OC为棱的长方体的外接球，由此先求出球S半径，从而能求出球S的表面积．

解答 解：∵三棱锥O-ABC中，∠BOC=90°，OA⊥平面BOC，其中AB=AC=$\sqrt{7}$，BC=$\sqrt{11}$，
O，A，B，C四点均在球S的表面上，
∴以O为顶点的三条棱两两垂直，
∴球S是以O为顶点，以OA、OB、OC为棱的长方体的外接球，
设球S半径为R，
则2R=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}+O{C}^{2}}$
=$\frac{1}{\sqrt{2}}×\sqrt{2（O{A}^{2}+O{B}^{2}+O{C}^{2}）}$
=$\frac{1}{\sqrt{2}}×\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}+A{C}^{2}}$
=$\frac{1}{\sqrt{2}}×\sqrt{7+7+11}$
=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴R=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，
∴球S的表面积S=4$π×（\frac{5\sqrt{2}}{4}）^{2}$=$\frac{25π}{2}$．
故答案为：$\frac{25π}{2}$．

点评 本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，解题的关键是推导出球S是以O为顶点，以OA、OB、OC为棱的长方体的外接球．