Question

5．已知m=（2cos（x+$\frac{π}{2}$），cosx），n=（cosx，2sin（x+$\frac{π}{2}$）），且函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+1
（1）设方程f（x）-1=0在（0，π）内有两个零点x₁，x₂，求f（x₁+x₂）的值；
（2）若把函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位，再向上平移2个单位，得函数g（x）图象，求函数g（x）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量数量积的运算可得f（x）=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）+2，由题意解得cos（2x+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，结合范围x∈（0，π），解得x₁，x₂的值，即可得解．
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x）=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{11π}{12}$）+4，由2kπ-π≤2x+$\frac{11π}{12}$≤2kπ即可解得函数g（x）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的单调增区间．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+1
=2cos（x+$\frac{π}{2}$）cosx+cosx2sin（x+$\frac{π}{2}$）+1
=-2sinxcosx+2cosxcosx+1
=-sin2x+1+cos2x+1
=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）+2，…（2分）
而f（x）-1=0，得：cos（2x+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，而x∈（0，π），得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{π}{4}}\\{{x}_{2}=\frac{π}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{π}{2}}\\{{x}_{2}=\frac{π}{4}}\end{array}\right.$，
所以f（x₁+x₂）=f（$\frac{3π}{4}$）=$\sqrt{2}$cos（$\frac{3π}{2}$+$\frac{π}{4}$）+2=3．…（6分）
（2）f（x）=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）+2左移$\frac{π}{3}$个单位得f（x）=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{11π}{12}$）+2，再上移2个单位得g（x）=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{11π}{12}$）+4，…（8分）
则g（x）的单调递增区间：2kπ-π≤2x+$\frac{11π}{12}$≤2kπ，k∈Z．所以kπ-$\frac{23}{24}$π≤x≤kπ-$\frac{11}{24}$π，k∈Z．
而x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，得：f（x）在x∈[-$\frac{π}{2}$，-$\frac{11π}{24}$]和x∈[$\frac{π}{24}$，$\frac{π}{2}$]上递增．…（12分）

点评 本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用，属于基本知识的考查．