Question

若存在区间[m，n]，使得函数f（x）定义域为[m，n]时，其值域为[km，kn]（k∈N^*），则称区间[m，n]为函数f（x）的“k倍区间”．已知函数f（x）=x³+sinx，则f（x）的“5倍区间”的个数是（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：函数的值域

专题：新定义

分析：由函数f（x）的“k倍区间”的定义，结合函数f（x）=x³+sinx的单调性，即可得到函数f（x）的“5倍区间”的个数．

解答： 解：令f（x）=5x，求y=f（x）-5x，y′=3x²-5+cosx，
令y′=0，抛物线y=x²-5与y=cosx只有两个交点，且x=±a，1.3＜a＜1.4，a＜

π

2

，
y=x³+sinx-5x在（-∞，-a）是增函数，（-a，a）是减函数，（a，+∞）是增函数，
则函数y=x³+sinx-5x的极大值是（-a）³+sin（-a）+5a＞0，极小值是a³+sina-5a＜0，
∴f（x）-5x=0有3根，∴y=f（x）与y=5x有3个公共点．
故选：D．

点评：本题考查新定义，主要考查函数的考查函数单调性的应用，体现了转化的数学思想，正确理解新定义是关键，属于中档题．