Question

（2012•江苏二模）已知a为正实数，函数f(x)=

a-x

a+x

•ex（e为自然对数的底数）．
（1）若f（0）＞f（1），求a的取值范围；
（2）当a=2时，解不等式f（x）＜1；
（3）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）根据f（0）＞f（1），可得

a-1

a+1

e＜1，利用a＞0，可求a的取值范围；
（2）确定f（x）在（-∞，-2）及（-2，+∞）上均为减函数，从而可解不等式；
（3）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，即可得到函数的单调区间．

解答：解：（1）∵f（0）＞f（1），∴

a-1

a+1

e＜1
∵a＞0，∴a（e-1）＜e+1
∵e-1＞0，∴a＜

e+1

e-1

∵a＞0，∴0＜a＜

e+1

e-1

；
（2）当a=2时，f(x)=

2-x

2+x

•ex，定义域为{x|x≠-2}
∵f′(x)=

-x2

(2+x)2

•ex＜0
∴f（x）在（-∞，-2）及（-2，+∞）上均为减函数
∵x∈（-∞，-2），f（x）＜0，∴x∈（-∞，-2）时，f（x）＜1；x∈（-2，+∞）时，f（0）=1，∴由f（x）＜f（0）得x＞0
综上，不等式的解集为（-∞，-2）∪（0，+∞）；
（3）当x≠-a时，f′(x)=

-x2+a2-2a

(a+x)2

•ex
令f′（x）=0，可得x²=a²-2a
①a=2时，由（2）知，函数的单调减区间为（-∞，-2），（-2，+∞）；
②0＜a＜2时，a²-2a＜0，f′（x）＜0恒成立，故函数的单调减区间为（-∞，-a），（-a，+∞）；
③a＞2时，a²-2a＞0
令f′（x）＞0，得x²＜a²-2a，∴-

a2-2a

＜x＜

a2-2a

；
令f′（x）＜0，得x²＞a²-2a，∴x＜-

a2-2a

或x＞

a2-2a

∴函数的单调增区间为(-

a2-2a

，

a2-2a

)，单调减区间为（-∞，-a），（-a，-

a2-2a

），（

a2-2a

，+∞）．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．