Question

（2010•江苏模拟）f（x）是定义在D上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D中的任意两数x₁，x₂，恒有f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂），则称f（x）为定义在D上的C函数．
（Ⅰ）试判断函数f₁（x）=x²，f2(x)=

1

x

(x＜0)中哪些是各自定义域上的C函数，并说明理由；
（Ⅱ）已知f（x）是R上的C函数，m是给定的正整数，设a_n=f（n），n=0，1，2，…，m，且a₀=0，a_m=2m，记S_f=a₁+a₂+…+a_m．对于满足条件的任意函数f（x），试求S_f的最大值．

Answer 1

分析：（1）对于函数f₁（x）=x²利用C函数的定义，对任意实数x₁，x₂及α∈（0，1），f（αx₁+（1-α）x₂）-αf（x₁）-（1-α）f（x₂）=-α（1-α）（x₁-x₂）²≤0；对于函数f2(x)=

1

x

(x＜0)，可取x₁=-3，x₂=-1，α=

1

2

⇒f（αx₁+（1-α）x₂）-αf（x₁）-（1-α）f（x₂）=

1

6

＞0⇒f2(x)=

1

x

(x＜0)不是C函数；
（2）对任意0≤n≤m，取x₁=m，x₂=0，α=

n

m

∈[0，1]，利用C函数的概念求得a_n=2n，从而转化为等差数列的求和
问题．

解答：解：（Ⅰ）f₁（x）=x²是C函数，证明如下：
对任意实数x₁，x₂及α∈（0，1），
有f（αx₁+（1-α）x₂）-αf（x₁）-（1-α）f（x₂）=（αx₁+（1-α）x₂）²-αx₁²-（1-α）x₂²=-α（1-α）x₁²-α（1-α）x₂²+2α（1-α）x₁x₂=-α（1-α）（x₁-x₂）²≤0．
即f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂）．
∴f₁（x）=x²是C函数．
f2(x)=

1

x

(x＜0)不是C函数，证明如下：
取x₁=-3，x₂=-1，α=

1

2

，
则f（αx₁+（1-α）x₂）-αf（x₁）-（1-α）f（x₂）=f(-2)-

1

2

f(-3)-

1

2

f(-1)=-

1

2

+

1

6

+

1

2

＞0．
即f（αx₁+（1-α）x₂）＞αf（x₁）+（1-α）f（x₂）．
∴f2(x)=

1

x

(x＜0)不是C函数．
（Ⅱ） 对任意0≤n≤m，取x₁=m，x₂=0，α=

n

m

∈[0，1]，
∵f（x）是R上的C函数，a_n=f（n），且a₀=0，a_m=2m，
∴a_n=f（n）=f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂）=

n

m

×2m=2n；
那么S_f=a₁+a₂+…+a_m≤2×（1+2+…+m）=m²+m．
可证f（x）=2x是C函数，且使得a_n=2n（n=0，1，2，…，m）都成立，此时S_f=m²+m．
综上所述，S_f的最大值为m²+m．

点评：本题考查函数的概念与最值及数列的求和，难点在于（1）中f2(x)=

1

x

(x＜0)不是C函数的判断（特值排除法）及（2）中S_f的最大值的求法，通过对C函数的理解转化为数列求和问题，属于难题．