Question

已知函数f(x)满足axf(x)=b+f(x)(ab≠0),f(1)=2，且方程f(x)=2x只有一个实根.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2,当n≥2时，S_n= +(n²+5n-2),试求a₂、a₃、a₄;

(3)根据a₁,a₂,a₃,a₄的值，猜想{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明之.

Answer 1

解析:(1)由题意得axf(x)=b+f(x)f(x)=.?

∵f(1)=2b=2a-2,∴f(x)=.?

而f(x)=2x只有一个实根x²-x-(a-1)=0.?

Δ=1+4a(a-1)=0,a=,b=-1.?

∴f(x)=22-x.?

(2)S_n=12(n²+5n+2)-a_n.?

由计算得a₂=3,a₃=4,a₄=5.?

(3)猜想a_n=n+1.?

①当n=1时，a₁=2成立.?

②假设n=k时成立，∴S_k=(k²+5k+2)-a_k,a_k=k+1.?

当n=k+1时，S_k+1=12［(k+1)²+5(k+1)+2］-a_k+1?,?

∴S_k+1 -S_k= (k²+7k+8-k²-5k-2)-a_k+1+a_k.?

∴2a_k+1= (2k+6)+a_k.?

∴a_k+1=k+2=(k+1)+1.?

∴当n=k+1时也成立.∴由①②得n∈N^*时等式均成立.