Question

10．已知函数f（x）=|x+2|+|x-2|．
（I） 求不等式f（x）≥6的解集；
（II） 若f（x）≥a²-3a在R恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）分类讨论，去掉绝对值，即可求不等式f（x）≥3的解集；
（II）利用|x+2|+|x-2|≥|（x+2）-（x-2）|=4，所以a²-3a≤4，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（ I） 因为$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-2x，x≤-2}\\{4，-2＜x≤2}\\{2x，x＞2}\end{array}}\right.$，所以原不等式等价于$\left\{{\begin{array}{l}{x≤-2}\\{-2x≥6}\end{array}}\right.$或 $\left\{{\begin{array}{l}{-2＜x≤2}\\{4≥6}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{x》＞2}\\{2x≥6}\end{array}}\right.$，
解得x≤-3或x∈∅或x≥3．
因此不等式解集为（-∞，-3]∪[3，+∞）．
（ II） 由题意得，关于x的不等式|x+2|+|x-2|≥a²-3a在R恒成立，
因为|x+2|+|x-2|≥|（x+2）-（x-2）|=4，所以a²-3a≤4，解得-1≤a≤4．
因此满足条件的a的取值范围为[-1，4]．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．