Question

19．已知函数f（x）=ln（x+1）+ax²-x（a∈R）．
（1）若a=$\frac{1}{2}$，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）讨论函数y=f（x）的单调性；
（3）若存在x₀∈[0，+∞），使f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据导数的几何意义即可求出答案，
（2）根据导数和函数的单调性关系，再分类讨论，即可得到函数的单调区间，
（3）存在x∈[0，+∞），使x∈[0，+∞）成立”的非命题为“对任意x∈[0，+∞），都有f（x）≥0成立”根据（2）即可得到a的取值范围．

解答 解：（1）当a=$\frac{1}{2}$时，f（x）=ln（x+1）+$\frac{1}{2}$x²-x，
∴f′（x）=$\frac{1}{x+1}$+x-1，
∴f（0）=0，f'（0）=0，
∴切点为（0，0），切线斜率k=f'（0）=0，
∴在点（0，f（0））处切线方程为：y=0…（2分）
（2）由已知得$f'（x）=\frac{1}{x+1}+2ax-1=\frac{{（{2ax+2a-1}）x}}{x+1}，x＞-1$
当a≤0时，∵x＞-1，∴x+1＞0，
∴2ax+2a-1=2a（x+1）-1≤-1＜0，
∴x∈（-1，0）时，f'（x）＞0，x∈（0，+∞）时，f'（x）＜0，
此时，f（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减．…（4分）
当a＞0时，由f'（x）=0得${x_1}=0，{x_2}=\frac{1-2a}{2a}$，
∵a＞0，
∴${x_2}=\frac{1-2a}{2a}$=$-1+\frac{1}{2a}＞-1$…（5分）
若$a=\frac{1}{2}$，则$\frac{1-2a}{2a}=0$，
∴$f'（x）=&\frac{x^2}{x+1}≥0（{∵x＞-1}）$，
此时，f（x）在（-1，+∞）上单调递增；…（6分）
若$0＜a＜\frac{1}{2}$，则x₁＜x₂，f（x），f'（x）的变化如下表

x	（-1，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增		单调递减		单调递增

此时f（x）在（-1，x₁）和（x₂，+∞）上单调递增，在（x₁，x₂）上单调递减． …（7分）
若a＞$\frac{1}{2}$则x₁＞x₂，f（x），f'（x）的变化如下表

x	（-1，x2）	x2	（x2，x1）	x1	（x1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增		单调递减		单调递增

此时f（x）在（-1，x₂）和（x₁，+∞）上单调递增，在（x₂，x₁）上单调递减  …（8分）
综上所述：当a≤0时，f（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减；
当$0＜a＜\frac{1}{2}$时，f（x）在（-1，0）和$（{\frac{1-2a}{2a}，+∞}）$上单调递增，在$（{0，\frac{1-2a}{2a}}）$上单调递减；
当$a=\frac{1}{2}$时，f（x）在（-1，+∞）上单调递增；
当$a＞\frac{1}{2}$时，f（x）在$（{-1，\frac{1-2a}{2a}}）$和（0，+∞）上单调递增，在$（{\frac{1-2a}{2a}，0}）$上单调递减；…（9分）
（3）“存在x∈[0，+∞），使x∈[0，+∞）成立”的非命题为“对任意x∈[0，+∞），都有f（x）≥0成立”
由（2）得，当$a≥\frac{1}{2}$时，f（x）在[0，+∞）上单调递增，
当$a＜\frac{1}{2}$时，一定存在区间（0，m）⊆[0，+∞）（m＞0），有f（x）在（0，m）上单调递减
又有f（0）=0，
∴当且仅当对$a≥\frac{1}{2}$时，
“任意x∈[0，+∞），都有f（x）≥f（0）=0成立”
即若对任意x∈[0，+∞），都有f（x）≥0成立，
则实数a的取值范围是$a≥\frac{1}{2}$．

点评 本题考查 了导数和函数的单调性和最值的关系，以及不等式恒成立的问题和参数的取值范围，属于难题．