Question

在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，BC⊥AC，且AC=1，BC=

2

，又D是棱SC上一点，AD+DB的最小值为

5

，则三棱锥S-ABC的外接球的体积为

 

．

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：把平面SAC和平面SCB绕SC展平成一个平面，在平面内连结AB，交SC于D点，此时AD+BD取得最小值即AB的长，结合余弦定理，可得∠SCA为45度，从而可以得到SA=AC，SB=2，所以外接球的半径为1，则体积可求．

解答： 解：∵SA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴SA⊥BC，
∵BC⊥AC，AC∩SA=A，
∴BC⊥平面SAC，
∵SC?平面SAC，
∴BC⊥SC，
∴△ABC，△BCS，△SAC都是RT△，
把平面SAC和平面SCB绕SC展平成一个平面，在平面内连结AB，交SC于D点，则AD+BD就是最小值，
在三角形ACB中，根据余弦定理，AB²=AC²+BC²-2AC•BC•cos∠ACB，
∴5=1+2-2×1×

2

cos∠ACB，
∴∠ACB=135°，
∠SCB=90°，∠SCA=45°，∠SAC=90°，△SAC是等腰RT△，
SA=AC=1，SC=

2

，SC=BC=

2

，△SCB也是等腰RT△，SB=2，
选取SB中点O，则O点是二直角三角形SAB、SCB的外接圆心，
∵SO=OB=OC=OA，∴O是外接球的球心，
R=

SB

2

=1，
∴球体积=

4

3

πR³=

4

3

π．
故答案为：

4

3

π．

点评：本题考查球的体积，考查图形的展开，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．