Question

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点E是正方形BCC₁B₁的中心，点F，G分别是棱C₁D₁，AA₁的中点．设点E₁，G₁分别是点E，G在平面DCC₁D₁内的正投影．
（1）求以E为顶点，以四边形FGAE在平面DCC₁D₁内的正投影为底面边界的棱锥的体积；
（2）证明：直线FG₁⊥平面FEE₁；
（3）求异面直线E₁G₁与EA所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）依题作点E、G在平面DCC₁D₁内的正投影E₁、G₁，则E₁、G₁分别为CC₁、DD₁的中点，四边形FGAE在平面DCC₁D₁内的正投影为底面边界即为四边形DE₁FG₁，面积为SDE1FG1=SRt△E1FG1+SRt△DG1E1，由题意可证EE₁为该棱锥的高，代入体积公式可求；
（2）以D为坐标原点，DA、DC、DD₁所在直线分别作x轴，y轴，z轴；要证直线FG₁⊥平面FEE_1?FG₁⊥FE，FG₁⊥FE1?

FG1

•

FE

=0，

FG1

•

FE1

=0，利用空间向量的数量积可证；
（3）异面直线E₁G₁与EA所成角?

E1G1

与

EA

所成的角，利用公式cosθ=

E1G1 • EA

| EA || E1G1|

可求；

解答：解：（1）依题作点E、G在平面DCC₁D₁内的正投影E₁、G₁，
则E₁、G₁分别为CC₁、DD₁的中点，
连接EE₁、EG₁、ED、DE₁，
则所求为四棱锥E-DE₁FG₁的体积，
其底面DE₁FG₁面积为SDE1FG1=SRt△E1FG1+SRt△DG1E1=

1

2

×

2

×

2

+

1

2

×1×2=2，（3分）
又EE₁⊥面DE₁FG₁，EE₁=1，
∴VE-DE1FG1=

1

3

SDE1FG1•EE1=

2

3

．（6分）
（2）以D为坐标原点，DA、DC、DD₁所在直线分别作x轴，y轴，z轴，
得E₁（0，2，1）、G₁（0，0，1），又G（2，0，1），F（0，1，2），E（1，2，1），
则

FG1

=(0，-1，-1)，

FE

=(1，1，-1)，

FE1

=(0，1，-1)，
∴

FG1

•

FE

=0+(-1)+1=0，

FG1

•

FE1

=0+(-1)+1=0，
即FG₁⊥FE，FG₁⊥FE₁，
又FE₁∩FE=F，∴FG₁⊥平面FEE₁．（10分）
（3）

E1G1

=(0，-2，0)，

EA

=(1，-2，-1)，
则cos＜

E1G1

，

EA

＞=

E1G1 • EA

| E1G1 || EA |

=

2

6

，
设异面直线E₁G₁与EA所成角为θ，则sinθ=

1- 2 3

=

3

3

．（14分）

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理，利用空间向量的方法把求异面直线所成的角转化为向量所成的角，锥体的体积的求解，关键是确定该棱锥的高及底面．