Question

已知P是椭圆的第三象限内一点，且它与两焦点连线互相垂直，若点P到直线4x-3y-2m+1=0的距离不大于3，则实数m的取值范围是

1. A.
   [-7，8]
2. B.
   
3. C.
   [-2，2]
4. D.
   （-∞，-7]∪[8，+∞）

Answer 1

A
分析：由椭圆的两焦点坐标为（-5，0）（5，0），且P（x，y）（x＜0，y＜0）与两焦点连线互相垂直，知，与+=1联立，得P（-3，-4），再由P（-3，-4）到4x-3y-2m+1=0的距离d=≤3，能求出实数m的取值范围．
解答：∵椭圆的两焦点坐标为（-5，0）（5，0），
且P（x，y）（x＜0，y＜0）与两焦点连线互相垂直，
∴，即y²=25-x²，
把y²=25-x²代入+=1，
得，
解得x=±3，
∴y²=25-9=16，
y=±4，
∵点P在第三象限，
∴P点坐标是（-3，-4），
P（-3，-4）到4x-3y-2m+1=0的距离d=，
∵点P到直线4x-3y-2m+1=0的距离不大于3，
∴≤3，
-15≤1-2m≤15，
解得-7≤m≤8．
故选A．
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆的简单性质等基础知识．综合性强，难度大，容易出错．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．