Question

已知a，b，c，d是实数，用分析法证明：

a2+b2

+

c2+d2

≥

(a+c)2+(b+d)2

．

Answer 1

分析：要证原不等式成立，将其两边平方，再进行分类讨论即可证得．

解答：证明：要证原不等式成立，只要证(

a2+b2

+

c2+d2

)2≥(a+c)2+(b+d)2，
即证(

(a2+b2)(c2+d2)

≥ac+bd．
（1）若ac+bd≤0，上式已经成立，原不等式成立
（2）若ac+bd＞0，只要证（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²
即证a²d²+b²c²≥2abcd，而此式成立，原不等式成立．
综上（1）（2），原不等式成立．

点评：本题的考点是综合法与分析法，主要考查分析法证明不等式，关键是注意证题的等价转化，应注意证题的格式．