Question

16．已知函数f（x）在R上满足f（x）=2f（2-x）-x²+8x-8，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为l，点（a_n，2a_n+1）在l上，且a₁=1，则a₈=（　　）

• A． -$\frac{7}{2}$
• B． -4
• C． -$\frac{9}{2}$
• D． -$\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 先根据f（x）=2f（2-x）-x²+8x-8求出函数f（x）的解析式，然后对函数f（x）进行求导，进而可得到y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程的斜率，最后根据点斜式可求导切线方程，构造等差数列进行求解即可．．

解答 解：∵f（x）=2f（2-x）-x²+8x-8，
∴f（2-x）=2f（x）-（2-x）²+8（2-x）-8．
∴f（2-x）=2f（x）-x²+4x-4+16-8x-8．
将f（2-x）代入f（x）=2f（2-x）-x²+8x-8
得f（x）=4f（x）-2x²-8x+8-x²+8x-8．
∴f（x）=x²，f'（x）=2x
∴y=f（x）在（1，f（1））处的切线斜率为y′=2．
∴函数y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y-1=2（x-1），
即y=2x-1．
∵点（a_n，2a_n+1）在l上
∴2a_n+1=2a_n-1，
即a_n+1-a_n=-$\frac{1}{2}$，
则数列{a_n}是公差d=-$\frac{1}{2}$的等差数列，首项为a₁=1，
则a_n=1-$\frac{1}{2}$（n-1）=-$\frac{1}{2}$（n-3），
则a₈=-$\frac{5}{2}$，
故选：D．

点评 本题主要考查数列的求解，根据导数的几何意义求出函数的切线方程，利用构造法构造等差数列是解决本题的关键．