已知椭圆两焦点坐标分别为
,
,且经过点
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)已知点,直线
与椭圆
交于两点
.若△
是以
为直角顶点的等腰直角三角形,试求直线
的方程.
(Ⅰ)(Ⅱ)
或
或
.
解析试题分析:(Ⅰ)由椭圆的定义可求得和
,再根据
,可求得
。即可求出椭圆方程。(Ⅱ)由点斜式设出直线方程,然后联立,消掉
(或
)得到关于
的一元二次方程。因为有两个交点所以判别式大于0,再根据韦达定理得出根与系数的关系。根据题意可知
且
。用这两个条件可列出两个方程。如用直线垂直来解需讨论斜率存在与否,为了省去讨论可转化为向量垂直问题用数量积公式求解, 注意讨论根的取舍。
试题解析:解:(Ⅰ)设椭圆标准方程为.依题意
,所以
.
又,所以
.
于是椭圆的标准方程为
. 5分
(Ⅱ)依题意,显然直线斜率存在.设直线
的方程为
,则
由得
.
因为,得
. ①
设,线段
中点为
,则
于是.
因为,线段
中点为
,所以
.
(1)当,即
且
时,
,整理得
. ②
因为,
,
所以,
整理得,解得
或
.
当时,由②不合题意舍去.
由①②知,时,
.
(2)当时,
(ⅰ)若时,直线
的方程为
,代入椭圆方程中得
.
设,
,依题意,若△
为等腰直角三角形,则
.即
,解得
或
.
不合题意舍去,
即此时直线的方程为
.
(ⅱ)若且
时,即直线
过原点.依椭圆的对称性有
,则依题意不能有
,即此时不满足△
为等腰直角三角形.
综上,直线的方程为
或
或
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设椭圆的方程为 ,斜率为1的直线不经过原点
,而且与椭圆相交于
两点,
为线段
的中点.
(1)问:直线与
能否垂直?若能,
之间满足什么关系;若不能,说明理由;
(2)已知为
的中点,且
点在椭圆上.若
,求椭圆的离心率.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知椭圆的右顶点为A(2,0),点P(2e,
)在椭圆上(e为椭圆的离心率).
(1)求椭圆的方程;
(2)若点B,C(C在第一象限)都在椭圆上,满足,且
,求实数λ的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系中,已知过点
的椭圆
:
的右焦点为
,过焦点
且与
轴不重合的直线与椭圆
交于
,
两点,点
关于坐标原点的对称点为
,直线
,
分别交椭圆
的右准线
于
,
两点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若点的坐标为
,试求直线
的方程;
(3)记,
两点的纵坐标分别为
,
,试问
是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知是椭圆
的右焦点;圆
与
轴交于
两点,其中
是椭圆
的左焦点.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设圆与
轴的正半轴的交点为
,点
是点
关于
轴的对称点,试判断直线
与圆
的位置关系;
(3)设直线与圆
交于另一点
,若
的面积为
,求椭圆
的标准方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知抛物线:
和⊙
:
,过抛物线
上一点
作两条直线与⊙
相切于
、
两点,分别交抛物线为E、F两点,圆心点
到抛物线准线的距离为
.
(1)求抛物线的方程;
(2)当的角平分线垂直
轴时,求直线
的斜率;
(3)若直线在
轴上的截距为
,求
的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的中心在原点,焦点在
轴上,以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为
的正方形(记为
)
(Ⅰ)求椭圆的方程
(Ⅱ)设点是直线
与
轴的交点,过点
的直线
与椭圆
相交于
两点,当线段
的中点落在正方形
内(包括边界)时,求直线
斜率的取值范围
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C的左、右焦点分别为,椭圆的离心率为
,且椭圆C经过点
.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若线段是椭圆过点
的弦,且
,求
内切圆面积最大时实数
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的离心率为
,其左焦点
到点
的距离为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过右焦点的直线与椭圆交于不同的两点
、
,则
内切圆的圆面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.
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