Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，若任意的a、b∈[-1，1]，且a+b≠0，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）判断f（x）在[-1，1]上的单调性，并证明你的结论；
（2）解不等式：f（x+1）＜f（

1

x-1

）．

Answer 1

分析：（1）任取x₁、x₂两数使x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，进而根据函数为奇函数推知f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂），让f（x₁）+f（-x₂）除以x₁-x₂再乘以x₁-x₂配出

f(a)+f(b)

a+b

的形式，进而判断出f（x₁）-f（x₂）与0的关系，进而证明出函数的单调性．
（2）根据函数f（x）在[-1，1]上是增函数知：

-1≤x+1≤1 -1≤ 1 x-1 ≤1 x+1＜ 1 x-1

进而可解得x的范围．

解答：解：（1）任取x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，则-x₂∈[-1，1]．又f（x）是奇函数，于是
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）
=

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

•（x₁-x₂）．
据已知

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在[-1，1]上是增函数．
（2）由f（x）在[-1，1]上是增函数知：

-1≤x+1≤1 -1≤ 1 x-1 ≤1 x+1＜ 1 x-1

，解得-2≤x＜-

2

，
故不等式的解集为{x|-2≤x＜-

2

}．

点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合运用．在解题时要利用好单调性和奇偶性的定义．