Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在x轴上．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）设直线l是抛物线的准线，B在抛物线上且AB经过焦点F，求证：以AB为直径的圆与准线l相切．

Answer 1

解：（1）∵抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴上
∴设抛物线C的标准方程为y²=2px（p＞0）
∵点A（2，2）在抛物线上，
∴2²=2p•2，解得p=1，可得抛物线C的标准方程为y²=2x；
（2）设直线AB的方程为：x=ty+，与y²=2x消去x，得y²-2ty-1=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点为M（m，n），
由根与系数的关系，得y₁+y₂=2t，可得n=（y₁+y₂）=t
代入直线方程，得m=（1+2t²）
∴点M到准线l的距离为d=m+=（1+2t²）+=1+t²
又∵AB是经过抛物线焦点的弦，
∴|AB|=x₁+x₂+p=2m+1=（1+2t²）+1=2（1+t²）
即点M到准线l的距离为d=1+t²=|AB|，可得以AB为直径的圆与准线l相切．
分析：（1）设抛物线C的标准方程为y²=2px，代入题中A点的坐标求出p的值，即可得到抛物线C的标准方程；
（2）设直线AB的方程为：x=ty+，与y²=2x联解得到AB中点的坐标为M（t²+，t），从而得到M到准线的距离d=1+t²．因为抛物线的焦点弦AB长为2+2t²，得到d=|AB|，所以以AB为直径的圆与准线l相切，命题得证．
点评：本题给出抛物线经过点A（2，2），求抛物线方程并证明以AB为直径的圆与准线相切，着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．