Question

18．若函数f（x）=x²+2a|x|+4a²-3有三个不同的零点，则函数g（x）=f（x）-f（|a|+a+1）的零点个数是4个．

Answer 1

分析 根据f（x）的零点，求出a的值，从而求出f（x）的解析式，结合二次函数的图象，问题转化为求f（x）和f（|a|+a+1）的交点个数问题．

解答 解：对于函数f（x）=x²+2a|x|+4a²-3，
∵f（-x）=f（x），∴f（x）为偶函数，
∴y=f（x）的图象关于y轴对称，
∴f（0）=4a²-3=0，解得：a=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又由x＞0时，f（x）=x²+2ax+4a²-3，其对称轴为x=-a，
若函数f（x）=x²+2a|x|+4a²-3有三个不同的零点，
必有x=-a≥0，故a=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴f（x）=x²-$\sqrt{3}$|x|，如图示：
，
f（x）的最小值是f（±$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=-$\frac{3}{4}$＜1-$\sqrt{3}$=f（|a|+a+1），
故函数g（x）=f（x）-f（|a|+a+1）的零点个数是4个，
故答案为：4．

点评 本题考查了函数的零点问题，考查二次函数的性质，是一道中档题．