Question

3．在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是矩形，
（1）若E，F分别为OC，BD中点，求证：EF∥平面OAD；
（2）若侧面OAD⊥底面ABCD．
（i）求证：OA⊥CD；
（ii）若OA=OD=$\sqrt{2}$，AD=2，求证：平面OAB⊥平面OCD．

Answer 1

分析 （1）要证EF∥平面OAD，只需证明EF平行于平面OAD内的一条直线即可，而E、F分别为OC、BD的中点，所以连接AC，EF为中位线，从而得证；
（2）（i）利用侧面OAD⊥底面ABCD，证明CD⊥侧面OAD，即可证明OA⊥CD；
（ii）证明OA⊥OD，利用OA⊥CD，OD∩CD=D，证明OA⊥平面OCD，即可证明平面OAB⊥平面OCD．

解答 证明：（1）连接AC，则F是AC的中点，
在△COA中，EF∥OA，
且OA?平面OAD，EF?平面OAD，
∴EF∥平面OAD；
（2）（i）∵侧面OAD⊥底面ABCD，侧面OAD∩底面ABCD=AD，CD⊥AD，
∴CD⊥侧面OAD，
∵OA?侧面OAD，
∴OA⊥CD；
（ii）∵OA=OD=$\sqrt{2}$，AD=2，
∴OA⊥OD，
∵OA⊥CD，OD∩CD=D，
∴OA⊥平面OCD，
∵OA?平面OAB，
∴平面OAB⊥平面OCD．

点评 本题考查线面平行的判定及线面垂直、面面垂直的判定，而其中的转化思想的应用值得注意，将线面平行转化为线线平行；证明线面垂直，转化为线线垂直，在证明线线垂直时，往往还要通过线面垂直来进行．