Question

13．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=1，AD=DC=$\sqrt{3}$．在线段A₁C₁上有一点Q．且C₁Q=$\frac{1}{3}{C_1}{A_1}$，则平面QDC与平面A₁DC所成锐二面角为（　　）

• A． $\frac{5π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 如图所示，建立空间直角坐标系．利用C₁Q=$\frac{1}{3}{C_1}{A_1}$，可得$\overrightarrow{DQ}$=$\overrightarrow{D{C}_{1}}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{{C}_{1}{A}_{1}}$．设平面DCQ的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），可得$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DQ}=0}\end{array}\right.$；设平面DCA₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=0}\end{array}\right.$，利用$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$，即可得出．

解答 解：如图所示，建立空间直角坐标系．
D（0，0，0），A₁（$\sqrt{3}$，0，1），C（0，$\sqrt{3}$，0），C₁（0，$\sqrt{3}$，1），
$\overrightarrow{{C}_{1}{A}_{1}}$=$（\sqrt{3}，-\sqrt{3}，0）$．
∵C₁Q=$\frac{1}{3}{C_1}{A_1}$，∴$\overrightarrow{DQ}$=$\overrightarrow{D{C}_{1}}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{{C}_{1}{A}_{1}}$=$（\frac{\sqrt{3}}{3}，-\frac{2\sqrt{3}}{3}，1）$．
设平面DCQ的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DQ}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}{y}_{1}=0}\\{\frac{\sqrt{3}}{3}{x}_{1}-\frac{2\sqrt{3}}{3}{y}_{1}+{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}$=$（\sqrt{3}，0，-1）$．
设平面DCA₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}{y}_{2}=0}\\{\sqrt{3}{x}_{2}+{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=$（\sqrt{3}，0，-3）$．
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{6}{2\sqrt{12}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴平面QDC与平面A₁DC所成锐二面角为$\frac{π}{6}$．
故选：D．

点评 本题考查了空间角、利用法向量的夹角求二面角、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．