Question

2．已知线段PQ的端点Q的坐标为（-2，3），端点P在圆C：（x-8）²+（y-1）²=4上运动．
（Ⅰ）求线段PQ中点M的轨迹E的方程；
（Ⅱ）若一光线从点Q射出，经x轴反射后，与轨迹E相切，求反射光线所在的直线方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设M（x，y），P（x₀，y₀），利用中点坐标公式，转化为P的坐标，代入圆的方程求解即可．
（Ⅱ）设Q（-2，3）关于x轴对称点Q'（-2，-3）设过Q'（-2，-3）的直线?：y+3=k（x+2），利用点到直线的距离公式化简求解即可．

解答 解：（Ⅰ）设M（x，y），P（x₀，y₀），$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{{{x_0}-2}}{2}=x}\\{\frac{{{y_0}+3}}{2}=y}\end{array}⇒\left\{{\begin{array}{l}{{x_0}=2x+2}\\{{y_0}=2y-3}\end{array}}\right.}\right.$
则代入${（{x_0}-8）^2}+{（{y_0}-1）^2}=4$
轨迹E的方程为（x-3）²+（y-2）²=1；
（Ⅱ）设Q（-2，3）关于x轴对称点Q'（-2，-3）
设过Q'（-2，-3）的直线?：y+3=k（x+2），即kx-y+2k-3=0
∵$d=\frac{{|{3k-2+2k-3}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，
（5k-5）²=k²+125（k²-2k+1）=k²+124k²-50k+24=0，
（3k-4）（4k-3）=0，
∴$k=\frac{4}{3}$或$k=\frac{3}{4}$，
∴反射光线所在$?：y+3=\frac{4}{3}（x+2）$，
即4x-3y-1=0$y+3=\frac{3}{4}（x+2）$，
即3x-4y-6=0．

点评 本题考查轨迹方程的求法，代入法的应用，考查转化思想以及计算能力．