Question

5．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\frac{1}{2}$sin2x，cos²x-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（sinφ，cosφ），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$（0＜φ＜π），其图象过点（$\frac{π}{8}$，$\frac{1}{2}$）
（1）求φ的值和f（x）的图象的对称中心；
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1I）首先，利用降幂公式、辅助角公式化简函数解析式，然后，根据三角函数的对称中心进行求解即可；
（2）借助于三角函数的图象变换，得到函数g（x）的解析式，然后，确定其最大值和最小值即可．

解答 解：（1）∵f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$
=$\frac{1}{2}$sin2xsinφ+cosφ（cos²x-$\frac{1}{2}$）
=$\frac{1}{2}$sin2xsinφ+$\frac{1}{2}$cosφcos2x
=$\frac{1}{2}$cos（2x-φ），
∴f（x）=$\frac{1}{2}$cos（2x-φ），
∵其图象过点（$\frac{π}{8}$，$\frac{1}{2}$），
∴cos（$\frac{π}{4}$-φ）=1，
∵0＜φ＜π，
∴φ=$\frac{π}{4}$，
∴f（x）=$\frac{1}{2}$cos（2x-$\frac{π}{4}$），
令2x-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$+kπ，
∴2x=$\frac{3π}{4}$+kπ，
∴x=$\frac{3π}{8}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
∴对称中心（$\frac{3π}{8}$+$\frac{kπ}{2}$，0），（k∈Z），
（2）结合图象变换，得
g（x）=2cos（4x-$\frac{π}{4}$），
∵0≤x≤$\frac{π}{2}$，
0≤4x≤2π，
∴-$\frac{π}{4}$≤4x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{7π}{4}$，
∴-2≤2cos（4x-$\frac{π}{4}$）≤2，
∴最大值2和最小值-2．

点评 本题属于综合题，综合考查了三角公式、二倍角公式、辅助角公式、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．