Question

已知圆k过定点A(a,0)(a＞0),圆心k在抛物线C: y²=2ax上运动，MN为圆k在y轴上截得的弦.
(1)试问MN的长是否随圆心k的运动而变化？
(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，抛物线C的准线与圆k有怎样的位置关系？

Answer 1

(1) 弦MN的长不随圆心k的运动而变化(2) 圆k必与准线相交

(1)设圆心k(x₀,y₀),且y₀²=2ax₀,
圆k的半径R=|AK|=
∴|MN|=2=2a(定值)
∴弦MN的长不随圆心k的运动而变化. 
(2)设M(0,y₁)、N(0,y₂)在圆k:(x－x₀)²+(y－y₀)²=x₀²+a²中，
令x=0，得y²－2y₀y+y₀²－a²=0，∴y₁y₂=y₀²－a²
∵|OA|是|OM|与|ON|的等差中项.
∴|OM|+|ON|=|y₁|+|y₂|=2|OA|=2a. 
又|MN|=|y₁－y₂|=2a，∴|y₁|+|y₂|=|y₁－y₂|
∴y₁y₂≤0，因此y₀²－a²≤0,即2ax₀－a²≤0 ∴0≤x₀≤.
圆心k到抛物线准线距离d=x₀+≤a,而圆k半径R=≥a.
且上两式不能同时取等号，故圆k必与准线相交.