Question

【题目】现给出三个条件：①函数的图象关于直线对称；②函数的图象关于点对称；③函数的图象上相邻两个最高点的距离为.从中选出两个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题.

已知函数（，），_____，_____.求函数在区间上的最大值和最小值.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

方案①③与②③，都有周期可求得，再由型函数的对称轴与对称中心求得，即可表示解析式，最后由三角函数的性质求得指定区间的最值；方案①②中，由对称轴与对称中心可构建方程组，分别表示与，利用分类讨论和时的情况，其中若T小于所求区间范围的区间长度，则最值由振幅确定，反之则可由性质求值域.

方案一：选①③.由已知，函数的最小正周期，

所以，，所以.

令，得，.

所以的对称轴方程为，.

令，，由，得.

综上，.

因为，所以.

所以当或，即或时，；

当，即时，.

方案二：选②③.由已知，函数的最小正周期，

所以，，所以.

所以，于是，.

由，得.

综上，.

因为，所以.

所以当，即时，；

当，即时，.

方案三：选①②.由已知可知其中一个对称轴与对称中心，

则，解得

因为，则，即或0

当时，

因为，则

当时，，则

又因为区间的区间长度为，所以函数在区间上的最大值为和最小值为，显然时也成立，

当时，

因为，则

当时，，则

此时函数，则其在区间上有，即，故最大值为，最小值为，

当时，，则，所以函数在区间上的最大值为和最小值为，显然时也成立

综上所述，函数和函数在区间上的最大值为和最小值为；函数在区间上最大值为，最小值为.