Question

5．给定直线y=a与函数f（x）=x³-3x．
（1）若直线y=a与f（x）的图象有且仅有两个交点，求实数a的值；
（2）若直线y=a与f（x）的图象有相异的三个交点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，得到函数的单调区间，画出函数的图象，从而求出a的值；（2）结合函数的图象，从而求出a的范围即可．

解答 解：f′（x）=3（x+1）（x-1），
令f′（x）=0，得x₁=1，x₂=-1
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f （x）	↗	极大值2	↘	极小值-2	↗

作f （x）的草图，如图示：
，
（1）当y=a经过极值点时有且仅有两个交点，此时a=±2．
（2）要使y=a与f （x）有三个不同的交点，由上图知a∈（-2，2）．

点评 本小题主要考查导数概念及几何意义和用导数求函数的最值问题．