Question

13．已知A（1，2），B（4，-2），在直线y=x-1上找一点P，使||PA|-|PB||最大，并求最大值．

Answer 1

分析 求出点A关于x轴的对称点为A′，利用三角形两边之差小于第三边的思想，结合两点之间的距离公式进行求解即可．

解答 解：∵A﹙1，2﹚，B﹙4，-2﹚，在直线y=x-1的两侧，
∴作A﹙1，2﹚关于直线y=x-1的对称点A′
∵垂直于直线y=x-1且过点A﹙1，2﹚的直线方程设y=-x+b，
则由2=-1+b得b=3，
即方程为y=-x+3，
令y=0，得x=3，即A′（3，0）．
∴由直线y=-x+3与直线y=x-1交点为（2，1），
∵过A′（3，0）和B﹙4，-2﹚的直线方程为$\frac{y-0}{-2-0}=\frac{x-3}{4-3}$，
即y=-2x+6，
∴由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+6}\\{y=x-1}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7}{3}}\\{y=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，即直线y=x-1与直线y=-2x+6的交点为P（$\frac{7}{3}$，$\frac{4}{3}$），
此时||PA|-|PB||=||PA′|-|PB||≤|A′B|，
∵|A′B|=$\sqrt{（4-3）^{2}+（-2）^{2}}$=$\sqrt{1+4}$=$\sqrt{5}$，
∴当P的坐标为（$\frac{7}{3}$，$\frac{4}{3}$）时，||PA|-|PB||有最大值$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查两点间的距离的问题，利用点的对称性转化为三点关系进行求解是解决本题的关键．