Question

1．求值域：（1）y=$\frac{{x}^{2}-2x-3}{{x}^{2}+3x+2}$；（2）y=$\frac{-{x}^{2}+2x-1}{{x}^{2}+x-2}$；（3）y=$\frac{x-1}{1-2x}$；（4）y=$\frac{|x|+2}{|x|+1}$（-1≤x≤2）．

Answer 1

分析 （1）将原函数整理成关于x的方程为，（y-1）x²+（3y+2）x+2y+3=0，讨论y，从而判断是个什么样的方程：y=1时，方程变成5x+5=0，可以看出该方程有解；y≠1时，上面方程为一元二次方程，从而有△≥0，解该不等式所得解合并y=1即可得出原函数的值域；
（2）该题用到的方法及过程都与上面的相同；
（3）通过分离常数原函数变成y=$-\frac{1}{2}-\frac{1}{2（1-2x）}$，显然y≠0，这便得出了该函数的值域；
（4）同（3），得到y=$1+\frac{1}{|x|+1}$，由-1≤x≤2便可得到0≤|x|≤2，根据不等式的性质，从而可得出$\frac{4}{3}≤1+\frac{1}{|x|+1}≤2$，这便得出了该函数的值域．

解答 解：（1）由$y=\frac{{x}^{2}-2x-3}{{x}^{2}+3x+2}$得：yx²+3yx+2y=x²-2x-3；
整理成：（y-1）x²+（3y+2）x+2y+3=0，将该式看成关于x的方程，方程有解；
①若y=1，上面方程变成5x+5=0，显然该方程有解；
②若y≠1，则△=（3y+2）²-4（y-1）（2y+3）=y²+8y+16≥0；
解得y≠1；
∴原函数的值域为R；
（2）同上，由$y=\frac{-{x}^{2}+2x-1}{{x}^{2}+x-2}$得：（y+1）²+（y-2）x+1-2y=0，将该式看成关于x的方程，方程有解；
①若y=-1，上面方程变成-3x+3=0，显然该方程有解；
②若y≠-1，则△=（y-2）²-4（y+1）（1-2y）=9y²≥0；
∴解得y≠-1；
∴原函数的值域为R；
（3）y=$\frac{x-1}{1-2x}=\frac{-\frac{1}{2}（1-2x）-\frac{1}{2}}{1-2x}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2（1-2x）}$；
∵$\frac{1}{2（1-2x）}≠0$；
∴$y≠-\frac{1}{2}$；
∴原函数的值域为{y|$y≠-\frac{1}{2}$}；
（4）$y=\frac{|x|+2}{|x|+1}=1+\frac{1}{|x|+1}$；
∵-1≤x≤2；
∴0≤|x|≤2；
∴$\frac{1}{3}≤\frac{1}{|x|+1}≤1$；
∴$\frac{4}{3}≤y≤2$；
∴原函数的值域为$[\frac{4}{3}，2]$．

点评 考查函数值域的概念，利用将原函数整理成关于x的方程，由方程有解来求函数值域的方法，分离常数法的运用，以及不等式的性质．