Question

17．已知$\overrightarrow a=（1，3）$，$\overrightarrow b=（1，1）$，$\overrightarrow c=\overrightarrow a+λ\overrightarrow b$，$\overrightarrow a$和$\overrightarrow c$的夹角是锐角，则实数λ的取值范围是{λ|λ＞$-\frac{5}{2}$，且λ≠0}．

Answer 1

分析 先求出向量$\overrightarrow{c}=（1+λ，3+λ）$，而由$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{c}$的夹角是锐角，便可得到0＜cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c}$＞＜1，根据条件即可求出$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}＞$=$\frac{10+4λ}{\sqrt{20{λ}^{2}+80λ+100}}$，从而解不等式$0＜\frac{10+4λ}{\sqrt{20{λ}^{2}+80λ+100}}＜1$，这样便可求出实数λ的取值范围．

解答 解：$\overrightarrow{c}=（1+λ，3+λ）$；
∵$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c}$夹角为锐角；
∴$0＜cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}＞＜1$；
∵$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}＞=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}|}=\frac{10+4λ}{\sqrt{10}•\sqrt{（1+λ）^{2}+（3+λ）^{2}}}$=$\frac{10+4λ}{\sqrt{20{λ}^{2}+80λ+100}}$；
$0＜\frac{10+4λ}{\sqrt{20{λ}^{2}+80λ+100}}＜1$；
∴$0＜10+4λ＜\sqrt{20{λ}^{2}+80λ+100}$；
∴$λ＞-\frac{5}{2}$，且λ≠0；
∴实数λ的取值范围是{λ|$λ＞-\frac{5}{2}$，且λ≠0}．
故答案为：$\{λ|λ＞-\frac{5}{2}，且λ≠0\}$．

点评 考查向量加法、数乘，及数量积的坐标运算，向量夹角的概念，向量夹角余弦的坐标公式，以及解无理不等式．