Question

已知M（1+cos2x，1），N(1，

3

sin2x+a)（x∈R，a∈R，a是常数），且y=

OM

•

ON

（其中O为坐标原点）．
（1）求y关于x的函数关系式y=f（x）；
（2）求函数y=f（x）的单调区间；
（3）若x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最大值为4，求a的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量数量积的定义可得f(x)=cos2x+

3

sin2x+1+a
（2）利用和差角公式可得f(x)=2sin(2x+

π

6

)+a+1，分别令2kπ-

π

2

＜2x+

π

6

＜2kπ+

π

2

，2kπ+

π

2

＜2x+

π

6

＜2kπ+

3π

2

分别解得函数y=f（x）的单调增区间和减区间
（3）由0≤x≤

π

2

求得

π

6

≤2x+

π

6

≤

13π

6

，结合三角函数的性质求最大值，进而求出a的值

解答：解：（1）y=

OM

•

ON

=1+cos2x+

3

sin2x+a，
所以f(x)=cos2x+

3

sin2x+1+a．
（2）由（1）可得f(x)=2sin(2x+

π

6

)+1+a，
由2kπ-

π

2

＜2x+

π

6

＜2kπ+

π

2

，解得kπ-

π

3

＜x＜kπ+

π

6

(k∈Z)；
由2kπ+

π

2

＜2x+

π

6

＜2kπ+

3π

2

，解得kπ+

π

6

＜x＜kπ+

2π

3

(k∈Z)，
所以f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)，
单调递减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

](k∈Z)．
（3）f(x)=2sin(2x+

π

6

)+1+a，
因为0≤x≤

π

2

，
所以

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
当2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

时，f（x）取最大值3+a，
所以3+a=4，即a=1．

点评：本题以向量的数量积为载体考查三角函数y=Asin（wx+∅）的性质，解决的步骤是结合正弦函数的相关性质，让wx+∅作为整体满足正弦函数的中x所满足的条件，分别解出相关的量．