Question

【题目】如图，已知直线l与抛物线y2=2x相交于A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）两点，与x轴相交于点M，若y1y2=﹣4，

（1）求：M点的坐标；
（2）求证：OA⊥OB；
（3）求△AOB的面积的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设M点的坐标为（t，0），直线l方程为x=my+t，

代入y2=2x得y2﹣2my﹣2t=0，①

y1、y2是此方程的两根，

∴y1y2=﹣2t=﹣4，∴t=2，即M点的坐标为（2，0）

（2）证明：∵y1y2=﹣4，

∴x1x2+y1y2= y12y22+y1y2=0，

∴OA⊥OB；

（3）解：由方程①，y1+y2=2m，y1y2=﹣4，且|OM|=t=2，

于是S△AOB= |OM||y1﹣y2|= = ≥2，

∴当m=0时，△AOB的面积取最小值2

【解析】（1）设M点的坐标为（t，0），直线l方程为x=my+t，代入y2=x得y2﹣2my﹣2t=0，利用韦达定理可证得M点的坐标为（2，0）．（2）根据y1y2=﹣4结合向量的坐标运算得出OA⊥OB．（3）S△AOB= |OM||y1﹣y2|= = ≥2．由此能求出结果．