Question

【题目】如图，在四棱锥O﹣ABCD中，∠BAD=120°，OA⊥平面ABCD，E为OD的中点，OA=AC= AD=2，AC平分∠BAD．

（1）求证：CE∥平面OAB；
（2）求四面体OACE的体积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：

取AD中点F，连接EF，CF，则EF∥OA，

∵EF平面OAB，OA平面OAB，

∴EF∥平面OAB，

△ACF中，AC=AF，∠CAF=60°，∴∠ACF=60°，

∵∠BAC=60°，

∴AB∥CF，

∵CF平面OAB，AB平面OAB，

∴CF∥平面OAB，

∵EF∩CF=F，

∴平面CEF∥平面OAB，

∵CE平面CEF，

∴CE∥平面OAB

（2）解：在△ACD中，CD= =2 ，

∴AC2+CD2=AD2，

∴AC⊥CD，

∵OA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，

∴OA⊥CD，

∵AC∩OA=A，

∴CD⊥平面OAC，

∵E是OD的中点，

∴E到平面OAC的距离为h= CD= ，

∵S△OAC= =2，

∴四面体OACE的体积V= = ．

【解析】（1）证明平面CEF∥平面OAB，即可证明CE∥平面OAB；（2）求出E到平面OAC的距离为h= CD= ，即可求四面体OACE的体积．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行即可以解答此题．