已知二次函数f(x)的最小值为-4.且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤3.x∈R}．的解析式,=f(x)x-4lnx的零点个数．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知二次函数f（x）的最小值为-4，且关于x的不等式f（x）≤0的解集为{x|-1≤x≤3，x∈R}．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）=

f(x)

-4lnx的零点个数．

（1）∵f（x）是二次函数，且关于x的不等式f（x）≤0的解集为{x|-1≤x≤3，x∈R}，
∴f（x）=a（x+1）（x-3）=a[（x-1）²-4]（a＞0）
∴f（x）_min=-4a=-4
∴a=1
故函数f（x）的解析式为f（x）=x²-2x-3
（2）g（x）=

f(x)

-4lnx=x-

-4lnx-2（x＞0），
∴g′（x）=

(x-1)(x-3)

x，g′（x），g（x）的取值变化情况如下：

当0＜x≤3时，g（x）≤g（1）=-4＜0；
又g（e⁵）=e5-

-20-2＞2⁵-1-22=9＞0
故函数g（x）只有1个零点，且零点x0∈(3，e5)

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