Question

【题目】若正项数列的前项积为，记.

（1）若为等比数列，公比为，为等差数列，求的值；

（2）设当时，若存在唯一的正整数，使得成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由为等比数列，列出通项公式，可得和，又为等差数列，故可代入求得的值。（2）先判断，再构造数列代入等式，可得最后求得的最大值和次大值，又对于有唯一正整数解求的取值范围.

（1）由题得，为等比数列，则,前项乘积为，.

又为等差数列，则，即，由，故，解得：.

（2）反证:若，下面要证明

由题意，代入得：.即当时命题成立

设时命题成立，即，则有，推知，即时命题成立.

于是有，与题中条件矛盾.

故假设不成立，.

等式两边同时乘以可以得到：，设，于是有.

由题中条件得，所以

故，则，，故，所以.

，当为偶数时，，当为奇数时，.

构造函数，则.

当时，单调递增；当时，单调递减.

的单调性与的相同，所以在单调递增，在时单调递减.

当为奇数时，最大值只有和两个，显然，故最大值为.

次大值在和中，显然，故次大值为.

故若存在唯一的正整数，使得成立，则.