Question

以下四个命题中：
①“若x²+y²≠0，则x，y全不为零”的否命题；
②若A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，有

OM

=

1

3

AO

+

1

3

OB

+

1

3

OC

，则点M与点A、B、C共面；
③若双曲线

x2

9

-

y2

16

=1的两焦点为F₁、F₂，点P为双曲线上一点，且

PF1

•

PF2

=0，则△PF₁F₂的面积为16；
④曲线

x2

25

+

y2

9

=1与曲线

x2

9-k

+

y2

25-k

=1（0＜k＜9）有相同的焦点；
其中真命题的序号为

③

．

Answer 1

分析：①由已知可得，原命题的题设P：x²+y²≠0，结论Q：x，y全不为零，则可得其否命题；
②可由四点共面的向量表示的条件，利用三个向量的系数和为1，即可判断；
③求出两个焦点F₁、F₂ 的坐标，Rt△PF₁F₂中，由勾股定理及双曲线的定义得|PF₁|•|PF₂|=32，从而求得△PF₁F₂面积

1

2

•|PF₁|•|PF₂|的值；
④求出椭圆C的焦点，再确定曲线

x2

9-k

+

y2

25-k

=1 （0＜k＜9）为椭圆，确定出它的焦点．

解答：解：①①“若x²+y²≠0，则x，y全不为零”的否命题是：
“若x²+y²=0，则x，y至少有一个为零”，是假命题；
②等号右边三个向量的系数和为

1

3

≠1，不满足四点共面的条件，
故不能得到点M与A，B，C一定共面，故②为假命题；
③由题意得  a=3，b=4，c=5，∴F₁  （-5，0 ）、F₂（5，0），
Rt△PF₁F₂中，由勾股定理得4c²=|PF₁|²+|PF₂|²=（|PF₁|-|PF₂|）²+2•|PF₁|•|PF₂|=4a²+2•|PF₁|•|PF₂|，
∴100=4×9+2•|PF₁|•|PF₂|，∴|PF₁|•|PF₂|=32，
∴△PF₁F₂面积为

1

2

•|PF₁|•|PF₂|=16，故③为真命题；
④由于曲线

x2

25

+

y2

9

=1的焦点为（-4，0），（4，0），
曲线

x2

9-k

+

y2

25-k

=1 （0＜k＜9）也是表示椭圆，它的焦点为（0，-4），（0，4），故④为假命题．
故答案为 ③

点评：本题考查命题真假的判断及双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础知识点的考查．