Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=

2

．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求四棱锥P-ABCD的体积；
（3）求四棱锥P-ABCD的表面积．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知得PA⊥AD，又PA⊥CD，由此能证明PA⊥平面ABCD．
（2）四棱锥P-ABCD的底面积为1，四棱锥P-ABCD的高为1，由此能求出四棱锥P-ABCD的体积．
（3）四棱锥P-ABCD的表面积S=S_{正方形ABCD}+S_△PAB+S_△PAD+S_△PDC+S_△PBC，由此能求出结果．

解答： （1）证明：因为四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，
PA=1，PD=

2

，
所以PD²=PA²+AD²，
所以PA⊥AD，
又PA⊥CD，AD∩CD=D，
所以PA⊥平面ABCD．
（2）解：四棱锥P-ABCD的底面积为1，
因为PA⊥平面ABCD，所以四棱锥P-ABCD的高为1，
所以四棱锥P-ABCD的体积为V=

1

3

×1×1=

1

3

．
（3）解：∵PA⊥平面ABCD，ABCD是边长为1的正方形，
∴PD=PB=

2

，PD⊥DC，PB⊥BC，
∴四棱锥P-ABCD的表面积：
S=S_{正方形ABCD}+S_△PAB+S_△PAD+S_△PDC+S_△PBC
=1×1+

1

2

×1×1+

1

2

×1×1+

1

2

×

2

×1+

1

2

×

2

×1
=2+

2

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查四棱锥的体积和表面积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．