【题目】在四棱锥中,平面平面,平面平面.
(Ⅰ)证明:平面;
(Ⅱ)若底面为矩形,,为的中点,,求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ).
【解析】
试题(Ⅰ)由题意平面,得到所以,同理可证,利用线面垂直的判定定理,即可证得平面;
(Ⅱ)分别以、、所在方向为轴、轴、轴的正方向,建立空间直角坐标系,求得向量和平面的一个法向量为,利用向量的夹角公式,即可求解直线与平面所成的角的正弦值.
试题解析:
(Ⅰ)证法1:在平面内过点作两条直线,,
使得,.
因为,所以,为两条相交直线.
因为平面平面,平面平面,平面,,所以平面.所以.同理可证.又因为平面,平面,,所以平面.
证法2:在平面内过点作,在平面内过点作.
因为平面平面,平面平面,平面,,所以平面.同理可证平面.而过点作平面的垂线有且仅有一条,所以与重合.所以平面.所以,直线为平面与平面的交线.所以,直线与直线重合.所以平面.
(Ⅱ)如图,分别以、、所在方向为轴、轴、轴的正方向,建立空间直角坐标系.设,则,,,,,.
由为的中点,得;由,得.所以,,.设平面的一个法向量为,
则,即.取,则,.所以.
所以 .
所以,直线与平面所成角的正弦值为.
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【题目】已知函数.
(1)求函数的对称轴方程;
(2)将函数的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标伸长为原来的2倍,然后再向左平移个单位,得到函数的图象.若, , 分别是△三个内角, , 的对边, , ,且,求的值.
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【题目】某公园欲将一块空地规划成如图所示的区域,其中在边长为20米的正方形内种植经红色郁金香,在正方形的剩余部分(即四个直角三角形内)种植黄色郁金香.现要在以为边长的矩形内种植绿色草坪,要求绿色草坪的面积等于黄色郁金香的面积.设,米.
(1)求与之间的函数关系式;
(2)求的最大值.
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【题目】网络游戏要实现可持续发展,必须要发展绿色网游.为此,国家文化部将从内容上对网游作出强制规定,国家信息产业部还将从技术上加强对网游的强制限制,开发限制网瘾的疲劳系统,现已开发的“游戏防沉迷系统”规则如下:
①小时以内(含小时)为健康时间,玩家在这段时间内获得的累积经验值(单位:)与游戏时间(小时)满足关系式:(为常数);
②小时到小时(含小时)为疲劳时间,玩家在这段时间内获得的经验值为(即累积经验值不变);
③超过小时为不健康时间,累积经验值开始损失,损失的经验值与不健康时间成正比例关系,比例系数为.
(1)当时,写出累积经验值与游戏时间的函数关系式,并求出游戏小时的累积经验值;
(2)定义“玩家愉悦指数”为累积经验值与游戏时间的比值,记作;若,开发部门希望在健康时间内,这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于,求实数的取值范围.
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【题目】从甲乙两班各随机抽取10名同学,如图所示的茎叶图记录了这20名同学在2018年高考语文作文题目中的成绩(单位:分).已知语文作文题目满分为60分,“分数分,为及格:分数分,为高分”,若甲乙两班的成绩的平均分都是44分.
(1)求,的值;
(2)若分别从甲乙两班随机各抽取1名成绩为高分的学生,求抽到的学生中,甲班学生成绩高于乙班学生成绩的概率.
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【题目】一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机抽取两个球,求取出的球的编号之和不大于4的概率;
(2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为n,求的概率
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【题目】已知集合,对于的一个子集,若存在不大于的正整数,使得对中的任意一对元素、,都有,则称具有性质.
(1)当时,试判断集合和是否具有性质?并说明理由;
(2)当时,若集合具有性质.
①那么集合是否一定具有性质?并说明理由;
②求集合中元素个数的最大值.
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【题目】已知f(x)=ax+ka﹣x(a>0且a≠1)是R上的奇函数,且f(1).
(1)求f(x)的解析式;
(2)若关于x的方程f(1)+f(1﹣3mx﹣2)=0在区间[0,1]内只有一个解,求m取值集合;
(3)是否存在正整数n,使不得式f(2x)≥(n﹣1)f(x)对一切x∈[﹣1,1]均成立?若存在,求出所有n的值若不存在,说明理由
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