Question

设minA表示数集A中的最小数；设maxA表示数集A中的最大数．
（1）若a，b＞0，h=min{a，

b

a2+b2

}，求证：h≤

2

2

；
（2）若H=max{

1

a

，

a2+b2

ab

，

1

b

}，求H的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用最小值的定义得到0＜h≤a，0＜h≤

b

a2+b2

，利用不等式的性质得到h2≤a•

b

a2+b2

，利用基本不等式得到h≤

2

2

．
（2）利用最大值的定义得到H≥

1

a

＞0，H≥

a2+b2

ab

＞0，H≥

1

b

＞0，利用不等式性质将三个不等式相乘及基本不等式得到H³≥2得到H的最小值．

解答：（1）证明：∵h=min{a，

b

a2+b2

}，
∴0＜h≤a，0＜h≤

b

a2+b2

，
∴h2≤a•

b

a2+b2

=

ab

a2+b2

≤

ab

2ab

=

1

2

，
∴h≤

2

2

．--------（4分）
（2）∵H=max{

1

a

，

a2+b2

ab

，

1

b

}，
∴H≥

1

a

＞0，H≥

a2+b2

ab

＞0，H≥

1

b

＞0，
∴H3≥

1

a

•

a2+b2

ab

•

1

b

=

a2+b2

ab

≥

2ab

ab

=2，
当且仅当a=b时取等号
∴H≥

3	2

．    
所以H的最小值为

3	2

---------（10分）

点评：利用基本不等式求函数的最值时，一定要注意不等式使用的条件：一正、二定、三相等．