Question

已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且2（a²+b²-c²）=3ab，
（1）求cosC；
（2）若c=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）由题意得，2（a²+b²-c²）=3ab，即（a²+b²-c² ）=

3ab

2

，则由余弦定理可得cosC=

a2+b2-c2

2ab

 的值．
（2）当c=2时，由基本不等式可得 a²+b²-4=

3

2

ab≥2ab-4，ab≤8，故S_△ABC=

1

2

absinC=

7

8

ab≤

7

．

解答：解：（1）由题意得，2（a²+b²-c²）=3ab，∴（a²+b²-c² ）=

3ab

2

，则由余弦定理可知，cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

3

4

．
（2）当c=2时，a²+b²-4=

3

2

ab≥2ab-4，∴

1

2

ab≤4，即ab≤8，
当且仅当a=b=2

2

时取等号，而cosC=

3

4

，∴sinC=

7

4

，
从而S_△ABC=

1

2

absinC=

7

8

ab≤

7

，即面积得最大值为

7

．

点评：本题考查余弦定理，同角三角函数的基本关系，基本不等式的应用，求出ab≤8，是解题的关键．