Question

如图，正四棱锥S-ABCD中，SA=AB，E、F、G分别为BC、SC、DC的中点，设P为线段FG上任意一点．
（l）求证：EP⊥AC；
（2）当直线BP与平面EFG所成的角取得最大值时，求二面角P-BD-C的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）设AC交BD于O，则SO⊥底面ABCD，从而SO⊥AC，又BD⊥AC，从而AC⊥平面SBF，进而AC⊥SO，由此能证明PE⊥AC．
（2）设AB=2，建立空间直角坐标系，求出面EFG的法向量，设BP与平面EFG所成角为α，由向量法能求出点P在线段FG上，λ=1时sinα取最大值，由此能求出二面角P-BD-C的大小．

解答： 解：（1）证明：设AC交BD于O，
∵S-ABCD为正四棱锥，∴SO⊥底面ABCD，
∴SO⊥AC，（1分）又∵BD⊥AC，
∴AC⊥平面SBF，∴AC⊥SO，
∵SD∥FG，∴AC⊥GF，又AC⊥GE，∴AC⊥平面GEF，
又∵PE?面GEF，∴PE⊥AC．（4分）
（2）解：设AB=2，如图建立空间直角坐标系，
则G（0，1，0），E（1，0，0），C（1，1，0），
S（0，0，

2

），F（

1

2

，

1

2

，

2

2

），B（1，-1，0），
∴

GF

=(

1

2

，-

1

2

，

2

2

)，（5分）
设

GP

=λ

GF

=(

λ

2

，-

λ

2

，

2

2

λ)，故点P(

λ

2

，1-

λ

2

，

2

2

λ)
∴

BP

=(

λ

2

-1，2-

λ

2

，

2

2

λ)，（6分）
设面EFG的法向量为

n

=（a，b，c），
∵n⊥

EF

，n⊥

GE

∴

a=b - a 2 + b 2 + 2 2 c=0

，令a=1，得

n

=（1，1，0）（7分）
设BP与平面EFG所成角为α，
则sinα=

| λ 2 -1+2- λ 2 |

2 × ( λ 2 -1)2+(2- λ 2 )2+ 1 2 λ2

=

2

2

1

λ2-3λ+5

（8分）
∵点P在线段FG上，∴0≤λ≤1，即λ=1时sinα取最大值
此时点P与点F重合（9分）
设二面角P-BD-C的大小为θ
∵点P到平面ABCD的距离为

2

2

，点P到BD的距离为1（10分）
则sinθ=

2 2

1

=

2

2

∴二面角P-BD-C的大小为45°．（12分）

点评：本题考查线面垂直的证明，考查线面角最大时二面角的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．