【题目】锐角△ABC中,其内角A,B满足:2cosA=sinB﹣ cosB.
(1)求角C的大小;
(2)D为AB的中点,CD=1,求△ABC面积的最大值.
【答案】
(1)解:∵2cosA+ cosB=sinB,可得:cosA=
sinB﹣
cosB=cos(
﹣B),
又∵A,B为锐角,
∴0 ,
<
﹣B<
,
∴A= ﹣B,A+B=
,可得:C=π﹣
=
(2)解:设∠ACD=α,延长CD到E,使CD=DE,
则AEBC为平行四边形,
在△ACE中,AC=b,AE=BC=α,CE=2,∠CAE= ,∠AEC=
﹣α,
由正弦定理可得: =
=
,
所以,a=4sinα,b=4sin( ﹣α),
S△ABC= absin∠ABC=
sin
=4sinαsin( ﹣α)=2sinαcosα﹣2
sin2α
=sin2α+ cos2α﹣
=2sin(2α+
)﹣
,
当α= 时,△ABC的面积取得最大值,最大值为2﹣
.
【解析】(1)由已知利用特殊角的三角函数值,两角差的正弦函数公式可得cosA=cos( ﹣B),结合A,B为锐角,利用三角形内角和定理可求C的值.(2)设∠ACD=α,延长CD到E,使CD=DE,则AEBC为平行四边形,在△ACE中,由正弦定理可得a=4sinα,b=4sin(
﹣α),利用三角形面积公式,三角函数恒等变换的应用化简可得S△ABC=2sin(2α+
)﹣
,利用正弦函数的性质可求△ABC面积的最大值.
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【题目】已知椭圆 (a>b>0)的一个顶点为B(0,4),离心率e=
,直线l交椭圆于M,N两点.
(1)若直线l的方程为y=x﹣4,求弦MN的长;
(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F,求直线l方程的一般式.
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【题目】(1)求经过直线l1:x+3y-3=0,l2:x-y+1=0的交点且平行于直线2x+y-3=0的直线方程.
(2)求证:不论m取什么实数,直线(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都经过一个定点,并求出这个定点的坐标.
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【题目】已知:动点P,Q都在曲线C: (t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.
(1)求M的轨迹的参数方程;
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.
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【题目】已知圆M的方程为,直线l的方程为
,点P在直线l上,过点P作圆M的切线PA,PB,切点为A,B.
若
,试求点P的坐标;
求四边形PAMB面积的最小值及此时点P的坐标;
求证:经过A,P,M三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,过右焦点作垂直于椭圆长轴的直线交椭圆于
两点,且
为坐标原点.
(1)求椭圆的方程;
(2) 设直线与椭圆
相交于
两点,若
.
①求的值;
②求的面积
的最小值.
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【题目】已知抛物线的焦点到准线的距离为
,直线
与抛物线
交于
两点,过这两点分别作抛物线
的切线,且这两条切线相交于点
.
(1)若的坐标为
,求
的值;
(2)设线段的中点为
,点
的坐标为
,过
的直线
与线段
为直径的圆相切,切点为
,且直线
与抛物线
交于
两点,求
的取值范围.
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