Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）上一点A与焦点F以及坐标原点O构成的三角形OAF的面积为p且|AF|=4．则p=

 

．

Answer 1

分析：设A（m，n），根据S_△OAF=p，利用三角形的面积公式列式，解出n=±4，从而可得m=

8

p

．再根据|AF|=4利用抛物线的定义建立关于p的方程，解之即可得出答案．

解答：解：抛物线y²=2px的焦点为F（

p

2

，0），准线为x=-

p

2

，
设A（m，n），可得S_△OAF=

1

2

|OF|•|n|=p，
即

1

2

•

p

2

•|n|=p，解得n=±4，
∴m=

n2

2p

=

8

p

．
根据抛物线的定义，点A到焦点F的距离等于A到准线的距离，
设A在抛物线准线的射影为点B，连结AB，
∴|AF|=|AB|=m+

p

2

=4，即

8

p

+

p

2

=4．
整理得：p²-8p+16=0，解得p=4．
故答案为：4

点评：本题给出抛物线上点A与焦点F以及坐标原点O构成的三角形的面积，在已知|AF|=4的情况下求p值．着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质、三角形的面积计算等知识，考查了方程的解法，属于中档题．