【题目】某企业生产的产品具有60个月的时效性,在时效期内,企业投入50万元经销该产品,为了获得更多的利润,企业将每月获得利润的10%再投入到次月的经营中,市场调研表明,该企业在经销这个产品的第个月的利润是
(单位:万元),记第
个月的当月利润率为
,例
.
(1)求第个月的当月利润率;
(2)求该企业在经销此产品期间,哪一个月的当月利润率最大,并求出该月的当月利润率.
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【题目】如图,在四棱锥中,已知四边形
是边长为
的正方形,点
在底面
上的射影为底面
的中心点
,点
在棱
上,且
的面积为1.
(1)若点是
的中点,求证:平面
平面
;
(2)在棱上是否存在一点
使得二面角
的余弦值为
?若存在,求出点
的位置;若不存在,说明理由.
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【题目】已知抛物线的焦点为
,
,
是抛物线上关于
轴对称的两点,点
是抛物线准线
与
轴的交点,
是面积为4的直角三角形.
(1)求抛物线的方程;
(2)若为抛物线上异于原点的任意一点,过
作
的垂线交准线
于点
,则直线
与抛物线是何种位置关系?请说明理由.
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【题目】记是定义在
上且满足如下条件的函数
组成的集合:
①对任意的,都有
;
②存在常数,使得对任意的
、
,都有
.
(1)设函数,
,判断函数
是否属于
?并说明理由;
(2)已知函数,求证:方程
的解至多一个;
(3)设函数,
,且
,试求实数
的取值范围.
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【题目】一个三位数:个位、十位、百位上的数字依次为,
,
,当且仅当
,
时,称这样的数为“凸数”(如243),现从集合
中取出三个不同的数组成一个三位数,则这个三位数是“凸数”的概率为( )
A.B.
C.
D.
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【题目】(1)阅读以下案例,利用此案例的想法化简.
案例:考察恒等式左右两边
的系数.
因为右边,
所以,右边的系数为
,
而左边的系数为
,
所以=
.
(2)求证:.
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【题目】为迎接2022年北京冬季奥运会,普及冬奥知识,某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动.现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了100名学生,将他们的比赛成绩(满分为100分)分为6组:,
,
,
,
,
,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求的值;
(2)估计这100名学生的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(3)在抽取的100名学生中,规定:比赛成绩不低于80分为“优秀”,比赛成绩低于80分为“非优秀”.请将下面的2×2列联表补充完整,并判断是否有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”?
优秀 | 非优秀 | 合计 | |
男生 | 40 | ||
女生 | 50 | ||
合计 | 100 |
参考公式及数据:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】某个地区计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水的年入流量(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:十亿立方米)都在4以上,其中,不足8的年份有10年,不低于8且不超过12的年份有35年,超过12的年份有5年,将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.
(1)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过12的概率;
(2)若水的年入流量与其蕴含的能量
(单位:百亿万焦)之间的部分对应数据为如下表所示:
年入流量 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 |
蕴含的能量 | 1.5 | 2.5 | 3.5 | 5 | 7.5 |
用最小二乘法求出关于
的线性回归方程
;(回归方程系数用分数表示)
(3)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制,并有如下关系:
年入流量 | |||
发电机最多可运行台数 | 1 | 2 | 3 |
若某台发电机运行,则该台年利润为5000万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?
附:回归方程系数公式:,
.
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