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对于数列{xn},如果存在一个正整数m,使得对任意的n(n∈N*)都有xn+m=xn成立,那么就把这样一类数列{xn}称作周期为m的周期数列,m的最小值称作数列{xn}的最小正周期,以下简称周期.例如当xn=2时,{xn}是周期为1的周期数列,当数学公式时,{yn}的周期为4的周期数列.
(1)设数列{an}满足an+2=λ•an+1-an(n∈N*),a1+a,a2=b(a,b不同时为0),且数列{an}是周期为3的周期数列,求常数λ的值;
(2)设数列{an}的前n项和为Sn,且4Sn=(an+1)2
①若an>0,试判断数列{an}是否为周期数列,并说明理由;
②若anan+1<0,试判断数列{an}是否为周期数列,并说明理由.
(3)设数列{an}满足an+2=-an+1-an(n∈N*),a1=1,a2=2,bn=an+1,数列{bn}的前n项和Sn,试问是否存在p、q,使对任意的n∈N*都有数学公式成立,若存在,求出p、q的取值范围;不存在,说明理由.

解:由(1)数列{an}是周期为3的数列,
得an+3=an,且?(λ+1)(an+2-an+1)=0,即λ=-1.

(2)当n=1时,s1=a1,4s1=(a1+1)2?a1=1,
当n≥2时,4an=4sn-4sn-1=(an+1)2-(an-1+1)2.?(an-1)2=(an-1+1)2,即an-an-1=2或an=-an-1(n≥2).
①由an>0有an-an-1=2(n≥2),则{an}为等差数列,即an=2n-1,
由于对任意的n都有an+m≠an,所以数列{an}不是周期数列.
②由anan+1<0有an=-an-1(n≥2),数列{an}为等比数列,即an=(-1)n-1
即an+2=an对任意n都成立.
即当anan+1<0时是{an}周期为2的周期数列.

(3)假设存在p,q.满足题设.
于是?an+3=an,又bn=an+1则bn+3=bn
所以{bn}是周期为3的周期数列,所以{bn}的前3项分别为2,3,-2.
则sn=
当n=3k时,=1;
当n=3k-2时,=1+?1<≤2;
当n=3k-1时,=1+?1<
综上1≤
为使p≤q恒成立,只要p≤1,q即可.
综上,存在p≤1,q满足题设.
分析:(1)直接利用数列{an}是周期为3的周期数列以及an+2=λ•an+1-an可以推得(λ+1)(an+2-an+1)=0即可求常数λ的值;
(2)先利用4Sn=(an+1)2求得an-an-1=2或an=-an-1(n≥2).
①由an>0得an-an-1=2(n≥2),求出数列{an}的通项公式即可判断数列{an}是否为周期数列;
②由anan+1<0的an=-an-1(n≥2),求出数列{an}的通项公式即可判断数列{an}是否为周期数列;
(3)先由数列{an}满足an+2=-an+1-an(n∈N*),推得数列{an}以及数列{bn}是周期为3的周期数列,求出数列{bn}的前3项,即可求出数列{bn}的前n项和Sn以及数列{bn}的前n项和Sn的取值范围,即可求出对应的p、q的取值范围.
点评:本题是在新定义下对数列知识的综合考查,属于数列中的难题.一般数列出大题,要么是非常容易,在第一第二大题;要么就是很难的题目.
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精英家教网若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列,则称这个数列为调和数列.已知数列{an}是调和数列,对于各项都是正数的数列{xn},满足xnan=xn+1an+1=xn+2an+2(n∈N*).
(Ⅰ)证明数列{xn}是等比数列;
(Ⅱ)把数列{xn}中所有项按如图所示的规律排成一个三角形数表,当x3=8,x7=128时,求第m行各数的和;
(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的数列{xn},证明:
n
2
-
1
3
x1-1
x2-1
+
x2-1
x3-1
+…+
xn-1
xn+1-1
n
2

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科目:高中数学 来源: 题型:

12、在数列{an}中,若存在非零整数T,使得am+T=am对于任意的正整数m均成立,那么称数列{an}为周期数列,其中T叫做数列{an}的周期.若数列{xn}满足xn+1=|xn-xn-1|(n≥2,n∈N),如x1=1,x2=a(a∈R,a≠0),当数列{xn}的周期最小时,该数列的前2010项的和是(  )

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如图,设P0是抛物线y=x2上一点,且在第一象限.过点P0作抛物线的切线,交x轴于Q1点,过Q1点作x轴的垂线,交抛物线于P1点,此时就称P0确定了P1.依此类推,可由P1确定P2,….记Pn(xn,yn),n=0,1,2,….给出下列三个结论:
①xn>0;
②数列{xn}为单调递减数列;
③对于?n∈N,?x0>1,使得y0+y1+y2+…+yn<2.
其中所有正确结论的序号为
①②③
①②③

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科目:高中数学 来源:2011-2012学年北京市西城区(北区)高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版) 题型:填空题

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①xn>0;
②数列{xn}为单调递减数列;
③对于?n∈N,?x>1,使得y+y1+y2+…+yn<2.
其中所有正确结论的序号为   

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科目:高中数学 来源:2012-2013学年湖南省郴州市安仁一中高三(上)期中数学试卷(解析版) 题型:选择题

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A.669
B.670
C.1339
D.1340

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